Enseignant : Igor
Kortchemski
La première partie du cours est consacrée à l’étude de différents
théorèmes limites en probabilités : rappels sur les variables aléatoires
indépendantes, lemmes de Borel-Cantelli, loi des grands nombres,
théorème central limite.
Dans un second temps, il s'agit d'étudier les équations différentielles
ordinaires : théorie générale (existence & unicité), équations
différentielles linéaires, stabilité des équilibres.
Le cours a lieu en présentiel entre les 4 et 19 juin, sur Zoom (lien
envoyé aux étudiantes et étudiants) sinon.
Matériel de cours
Les notes des cours donnés sur Zoom seront mis en ligne ici.
N'hésitez pas à m'envoyer
un mail si vous avez des questions ou si vous remarquez des
coquilles.
Annales:
Feedback des étudiants sur le cours :
Syllabus
Sauf mention explicite du contraire, en Zoom le cours à lieu en entre
19:30 et 21:55 heure de Beijing (13:30 - 15:55 heure de Paris). Le
calendrier jours des cours sera mis à jour dès que possible (il y aura
davantage de cours en présentiel en juin). Le premier cours aura lieu le
mardi 30 avril.
Le programme prévisionnel est le suivant:
- Cours 1 (mardi 30 avril): Indépendance
(rappels de théorie de la mesure, indépendance d'un nombre fini
d'événements puis d'un nombre fini de variables aléatoires,
indépendance et intégration).
- Cours 2 (mardi 7 mai) : Indépendance de
familles infinies (indépendance et intégration pour des v.a.
réelles, critère d'indépendance, indépendance de familles infinies,
lemmes de Borel-Cantelli).
- Cours 3 (jeudi 9 mai) : Propriétés de v.a.
indépendantes (construction d'une suite de v.a.
indépendantes, loi du 0-1 de Kolmogorov, sommes de v.a. indépendantes,
semi-groupes de convolution, lois des grands nombres).
- Cours 4 : Convergence de variables aléatoires
(loi forte des grands nombres, différents modes de convergence,
convergence en loi).
- Cours 5 : Convergence en loi (théorème
de Porte-manteau, restriction des fonctions tests, théorème de Lévy,
application à la convergence de mesures empiriques).
- Cours 6 : Théorème central limite
(Enoncé du théorème, vecteurs gaussion, théorème central limite
multidimensionn ).
- Cours 7 : Compléments probabilistes
(Théorème de représentation de Skorokhod, tension et théorème de
Prokhorov, tribu cylindrique et fonctions aléatoires).
- Cours 8 : Quelques éléments de statistique
(estimation, intervalles de confiance, simulations).
- Cours 9 : Existence et unicité de solutions à
des équations différentielles (problème de Cauchy, Théorème
de Cauchy-Lipschitz, équations d'ordre n)
- Cours 10 : Durée de vie des solutions
(Théorème de Cauchy-Peano, solutions maximales, durée de vie,
solutions globales et lemme de Gronwall)
- Cours 11 : Influence des conditions initiales,
équations linéaires (continuité par rapport aux données
initiales, existence et unicité globales pour des équations
différentielles linéaires, la résolvante)
- Cours 12 : Propriétés de la résolvante,
équations différentielles à coefficients constants
(propriétés, cas non homogène, équations d'ordre n, exponentielles de
matrices, réduction de Jordan pour des matrices complexes)
- Cours 13 : Réduction de Jordan dans R. Flots.
(calcul de l'exponentielle pour des matrices réelles, flots et
portraits de phase, régularité du flot)
- Cours 14 : Application du théorème du flot,
équilibre et stabilité. (application du flot, équilibres et
stabilité, stabilité par linéarisation)
- Cours 15 : Stabilité par fonctions de Lyapounov
(Stabilité par linéarisation fin, stabilité par fonctions de
Lyapounov, exemples d'application)
- Cours 16 : Exemples (quelques modèles,
liens entre probabilités et équations différentielles)
Références :
Evaluation
L'évaluation se fait par un examen final écrit de 3 heures. Les notes
ne seront pas autorisées.
