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Vous trouverez sur cette page mes développements d'algèbre et d'analyse que j'ai préparés pour l'agrégation externe de mathématiques en 2009. N'hésitez pas à m'envoyer d'éventuelles remarques, suggestions ou à me signaler des coquilles (j'en profite pour remercier ceux qui en ont trouvé) .
Développements d'algèbre et de géométrie (Version préliminaire du 13 septembre 2009)
Développements d'analyse et de probabilités (Version préliminaire du 9 septembre 2009)
Pour ceux qui se demandent sous quel format les plans doivent être écrits le jour de l'oral ou pour les curieux, voici les photocopies des plans de leçons que j'ai présentés le jour de l'oral.
Leçon d'algèbre (Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.) J'ai introduit la leçon en motivant d'abord son intitulé de la manière suivante: on se rend compte que plusieurs structures mathématiques vérifient des mêmes propriétés (comme les solutions d'une équation différentielle linéaire, d'une récurrence linéaire) qu'on appelle espace vectoriel. On étudie ensuite la structure en elle-même; quels sont alors les résultats concrets qu'on peut en déduire? J'ai précisé que, faute de temps et de place, je traitais le sujet d'un point de vue intrinsèque, c'est-à-dire sans parler de matrices et de bases.
Cela dit, je ne suis pas trop satisfait de ce plan, qui ne donne en particulier pas d'exemples explicites de base et ne fournit pas d'exemple concret où la connaissance d'une base s'avère efficace (on peut penser à expliciter la solution d'une équation différentielle ou d'une récurrence linéaire comme la suite de Fibonnaci, par exemple).
Leçon d'analyse (Suites et séries de fonctions intégrables) J'ai introduit la leçon en motivant d'abord son intitulé en trois points. Premièrement, pour calculer l'intégrale d'une fonction, on peut essayer d'approcher cette dernière par des fonctions plus simples dont on sait calculer l'intégrale, puis espérer qu'il n'y ait pas de perte de masse en passant à la limite. Deuxièment, on peut étudier la régularité de fonctions définies par une intégrale (de telles sortes de fonctions apparaissent naturellement et sont fondamentales: fonction Gamma, formule de Cauchy, intégrale de Poisson), ce qui revient à étudier l'existe d'une limite de certaines intégrales de fonctions (car la toplogie de R étant métrisable, on peut utiliser le critère séquentiel). Dernièrement, en probabilités, car la valeur de certaines variables aléatoires à des temps d'arrêts apparaissent comme limite d'une suite de fonctions intégrables (je décris rapidement l'exemple de la ruine du joueur au tableau). S'ensuit une présentation du plan (j'insiste que la deuxième partie répond à la question suivante: quel intérêt a-t-on à considérer une fonction comme faisant partie d'un certain espace fonctionnel muni d'une topologie, autrement dit, concrètement , qu'est ce que cela apporte?).