Enseignant : Igor
Kortchemski
La première partie du cours est consacrée à l’étude de différents
théorèmes limites en probabilités : rappels sur les variables aléatoires
indépendantes, lemmes de Borel-Cantelli, loi des grands nombres,
théorème central limite.
Dans un second temps, il s'agit d'étudier les équations différentielles
ordinaires : théorie générale (existence & unicité), équations
différentielles linéaires, stabilité des équilibres.
Le cours a lieu en présentiel jusqu'à 28 mai (inclus), sur Zoom (lien
envoyé aux étudiantes et étudiants) sinon.
Matériel de cours
Les notes de cours seront mises en ligne ici au fur et à mesure de l'avancement du cours.
N'hésitez pas à m'envoyer
un mail si vous avez des questions ou si vous remarquez des
coquilles.
Annales:
Feedback des étudiants sur le cours :
Syllabus
Sauf mention explicite du contraire, le cours a lieu le mardi 15h55-18h20 (sauf les mardi 9, 16 et 23 juin) et le jeudi 15h55-18h20 ainsi qu'exceptionnellement les mercredi 6, 13 et 20 mai 19:30-21:55 (heures Hefei).
Le programme prévisionnel est le suivant:
- Cours 1 (mercredi 6 mai avril) : Indépendance
(rappels de théorie de la mesure, indépendance d'un nombre fini
d'événements puis d'un nombre fini de variables aléatoires,
indépendance et intégration).
- Cours 2 (jeudi 7 mai) : Indépendance de
familles infinies (indépendance et intégration pour des v.a.
réelles, critère d'indépendance, indépendance de familles infinies,
lemmes de Borel-Cantelli).
- Cours 3 (mardi 12 mai) : Propriétés de v.a.
indépendantes (construction d'une suite de v.a.
indépendantes, loi du 0-1 de Kolmogorov, sommes de v.a. indépendantes,
semi-groupes de convolution, lois des grands nombres).
- Cours 4 (mercredi 13 mai) : Convergence de
variables aléatoires (loi forte des grands nombres,
différents modes de convergence, convergence en loi).
- Cours 5 (jeudi 14 mai) : Convergence
en loi (théorème de Porte-manteau et applications).
- Cours 6 (mardi 19 mai) : Convergence en loi (restriction des fonctions tests et application à la convergence de
mesures empiriques, fonctions
caractéristiques : lien
avec les lois).
- Cours 7 (mercredi 20 mai) : Théorème central limite, vecteurs
gaussiens (théorème de Lévy, théorème central limite, vecteurs
gaussiens, théorème central limite multidimensionnel).
- Cours 8 (jeudi 21 mai) : Compléments
probabilistes (Théorème de représentation de Skorokhod,
tension et théorème de Prokhorov, tribu cylindrique et fonctions
aléatoires).
- Cours 9 (mardi 26 mai) : Existence et unicité
de solutions à des équations différentielles (problème de
Cauchy, Théorème de Cauchy-Lipschitz, équations d'ordre n)
- Cours 10 (jeudi 28 mai): Durée de vie des solutions
(Théorème de Cauchy-Peano, solutions maximales, durée de vie,
solutions globales et lemme de Gronwall)
- Cours 11 (mardi 2 juin) : Influence des conditions initiales,
équations linéaires (continuité par rapport aux données
initiales, existence et unicité globales pour des équations
différentielles linéaires, la résolvante)
- Cours 12 (jeudi 4 juin): Propriétés de la résolvante,
équations différentielles à coefficients constants
(propriétés, cas non homogène, équations d'ordre n, exponentielles de
matrices, réduction de Jordan pour des matrices complexes)
- Cours 13 (mardi 6 juin): Réduction de Jordan dans R. Flots.
(calcul de l'exponentielle pour des matrices réelles, flots et
portraits de phase, régularité du flot)
- Cours 14 (jeudi 25 juin): Application du théorème du flot,
équilibre et stabilité. (application du flot, équilibres et
stabilité, stabilité par linéarisation)
- Cours 15 (mardi 30 juin) : Stabilité par fonctions de Lyapounov
(Stabilité par linéarisation fin, stabilité par fonctions de
Lyapounov, exemples d'application)
- Cours 16 (jeudi 2 juillet): Exemples (quelques modèles,
liens entre probabilités et équations différentielles)
Références :
Evaluation
L'évaluation se fait par un examen final écrit de 3 heures. Les notes
ne seront pas autorisées.
