Enseignant : Igor
Kortchemski
La première partie du cours est consacrée à l’étude de différents
théorèmes limites en probabilités : rappels sur les variables aléatoires
indépendantes, lemmes de Borel-Cantelli, loi des grands nombres,
théorème central limite.
Dans un second temps, il s'agit d'étudier les équations différentielles
ordinaires : théorie générale (existence & unicité), équations
différentielles linéaires, stabilité des équilibres.
Le cours a lieu en présentiel entre les 4 et 19 juin, sur Zoom (lien
envoyé aux étudiantes et étudiants) sinon.
Matériel de cours
Notes des cours donnés sur Zoom :
Notes des cours sur la partie analyse (donnés en présentiel à partir du cours 10) :
Examen
(corrigé);
questions de
cours pour l'examen données à l'avance
N'hésitez pas à m'envoyer
un mail si vous avez des questions ou si vous remarquez des
coquilles.
Annales:
Feedback des étudiants sur le cours :
Syllabus
Sauf mention explicite du contraire, en Zoom le cours à lieu en entre
19:30 et 21:55 heure de Beijing (13:30 - 15:55 heure de Paris) jusqu'u jeudi 30 mai, et ensuite en présentiel entre 9:45 et 12:10 (sauf exceptions) .
Le programme prévisionnel est le suivant:
- Cours 1 (mardi 30 avril) : Indépendance
(rappels de théorie de la mesure, indépendance d'un nombre fini
d'événements puis d'un nombre fini de variables aléatoires,
indépendance et intégration).
- Cours 2 (mardi 7 mai) : Indépendance de
familles infinies (indépendance et intégration pour des v.a.
réelles, critère d'indépendance, indépendance de familles infinies,
lemmes de Borel-Cantelli).
- Cours 3 (jeudi 9 mai) : Propriétés de v.a.
indépendantes (construction d'une suite de v.a.
indépendantes, loi du 0-1 de Kolmogorov, sommes de v.a. indépendantes,
semi-groupes de convolution, lois des grands nombres).
- Cours 4 (mardi 14 mai) : Convergence de
variables aléatoires (loi forte des grands nombres,
différents modes de convergence, convergence en loi).
- Cours 5 (jeudi 16 mai ; ⚠ 20:15 - 22:15 heure Beijing⚠): Convergence
en loi (théorème de Porte-manteau et applications).
- Cours 6 (mardi 21 mai) : Convergence en loi (restriction des fonctions tests et application à la convergence de
mesures empiriques, fonctions
caractéristiques : lien
avec les lois).
- Cours 7 (jeudi 23 mai ⚠ 20:15 - 22:15 heure Beijing ⚠) : Théorème central limite, vecteurs
gaussiens (théorème de Lévy, théorème central limite, vecteurs
gaussiens, théorème central limite multidimensionnel).
- Cours 8 (mardi 28 mai) : Compléments
probabilistes (Théorème de représentation de Skorokhod,
tension et théorème de Prokhorov, tribu cylindrique et fonctions
aléatoires).
- Cours 9 (jeudi 30 mai) : Existence et unicité
de solutions à des équations différentielles (problème de
Cauchy, Théorème de Cauchy-Lipschitz, équations d'ordre n)
- Cours 10 (⚠ mercredi 5 juin 15:55-18:20 ⚠): Durée de vie des solutions
(Théorème de Cauchy-Peano, solutions maximales, durée de vie,
solutions globales et lemme de Gronwall)
- Cours 11 (jeudi 6 juin) : Influence des conditions initiales,
équations linéaires (continuité par rapport aux données
initiales, existence et unicité globales pour des équations
différentielles linéaires, la résolvante)
- Cours 12 (mardi 11 juin): Propriétés de la résolvante,
équations différentielles à coefficients constants
(propriétés, cas non homogène, équations d'ordre n, exponentielles de
matrices, réduction de Jordan pour des matrices complexes)
- Cours 13 (⚠ mercredi 12 juin 19:30 - 21:55 ⚠): Réduction de Jordan dans R. Flots.
(calcul de l'exponentielle pour des matrices réelles, flots et
portraits de phase, régularité du flot)
- Cours 14 (jeudi 13 juin): Application du théorème du flot,
équilibre et stabilité. (application du flot, équilibres et
stabilité, stabilité par linéarisation)
- Cours 15 (mardi 18 juin) : Stabilité par fonctions de Lyapounov
(Stabilité par linéarisation fin, stabilité par fonctions de
Lyapounov, exemples d'application)
- Cours 16 (⚠ mercredi 19 juin 19:30 - 21:55 ⚠): Exemples (quelques modèles,
liens entre probabilités et équations différentielles)
Références :
Evaluation
L'évaluation se fait par un examen final écrit de 3 heures. Les notes
ne seront pas autorisées.
