Enseignant : Igor
Kortchemski
La première partie du cours est consacrée à l’étude de la notion de
convergence en loi, d'abord dans ℝ^n, puis dans un cadre assez général
où les objets aléatoires considérés prennent leurs valeurs dans un
espace métrique complet et séparable. On démontre en particulier le
théorème de Prokhorov qui caractérise les familles de mesures de
probabilité relativement compactes pour la topologie de la convergence
en loi.
Dans un second temps, cette théorie est appliquée à l'étude de la
convergence en loi dans l'espace des fonctions continues à valeurs
réelles, puis dans l'espace des fonctions càdlàg à valeurs réelles. On
établit en particulier le théorème de Donsker, selon lequel une marche
aléatoire à pas indépendants et de même loi converge après
renormalisation vers un mouvement brownien.
La dernière partie du cours sera consacrée à l'étude des mesures
aléatoires de Poisson.
Matériel de cours
Notes de cours à venir suivant l'évolution du cours.
Feuilles d'exercices
Annales:
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un mail si vous avez des questions ou si vous remarquez des
coquilles.
Syllabus
Programme :
- Cours 1 (24 septembre): Convergence étroite
dans R^n : (définition, restriction des fonctions tests,
fonctions de repartition et tension dans R).
- Cours 2 (1 octobre): Mesures de probabilités
sur un espace métrique (1/2). (fonctions caractéristiques et
théorème de Lévy, rappels sur les différents modes de convergence,
uniforme intégrabilité et convergence dans L^1, régularité de mesures,
théorème de Porte-Manteau)
- Cours 3 (8 octobre): Mesures de probabilités
sur un espace métrique (2/2). (convergence en loi dans ℝ^ℕ,
tension et théorème de Prokhorov, propriétés topologies de l'espace
des mesures de probabilité)
- Cours 4 (15 octobre): L'espace des fonctions
continues sur un compact (1/2). (caractère complet séparable,
convergence en loi dans cet espace, caractérisation de la compacité et
théorème d'Arzela-Ascoli)
- Vacances (2 semaines)
- Cours 5 (5 novembre): L'espace des fonctions
continues sur un segment à valeurs réelles (2/2) (critère de
relative compacité dans cet espace, critère de tension de Kolmogorov,
quelques mots sur l'espace des fonctions continues sur les réels
positifs)
- Cours 6 (12 novembre): Interlude : couplages
(théorème de représentation de Skorokhod, couplages liées à la
distance en variation totale, à la distance de Lévy-Prokhorov, et à
l'ordre stochastique) puis théorème de Donsker.
(théorème de Donsker, applications)
- Cours 7 (19 novembre): Le pont brownien.
(théorème local limite, convergence en loi vers le pont brownien)
- Cours 8 (26 novembre): Quelques mots sur les
processus discontinus. (propriétés de base des fonctions
càdlag, distance de Skorokhod, exemples de fonctionnelles continues,
critères de tension)
- Cours 9 (3 décembre): Mesures aléatoires de
Poisson (1/2) (rappels sur les lois de Poisson, définition et
existence de nuages poissoniens, points multiples)
- Cours 10 (10 décembre): Mesures aléatoires de
Poisson (2/2) (fonctionnelles de Laplace, propriétés de
stabilité processus de Poisson ponctuels, formule de Palm)
Références principales :
- P. Billingsley, Convergence of probability
measures (2nd Edition), Wiley–Blackwell
- O. Kallenberg, Foundations of Modern
Probability (2nd Edition), Springer
- J. F. C. Kingman, Poisson Processes, Clarendon
Press et G. Last, M. Penrose, Lectures on the
Poisson Process, Cambridge University Press
Références secondaires:
- Distances sur les mesures de probabilité : A. L. Gibbs, F.
E. Su, On Choosing and Bounding Probability Metrics, International
Statistical Review et S. Janson Probability
distances, disponible
en ligne.
- Couplages : F. den Hollander, Probability Theory: The
Coupling Method, disponible
en ligne
- Processus càdlàg : J. Jacod, A. N. Shiraev, Limit
Theorems for Stochastic Processes Chapitre VI (2nd Edition),
Springer
Evaluation
L'évaluation se fait par un devoir maison (pendant les vacances de la
Toussaint) et un examen final en janvier. La note finale est le maximum
entre la note de l'examen final et la moyenne de l'examen final et du
devoir maison.
