Mini-cours donné lors des Journées ALEA 2026
Résumé
L’objectif de cette leçon n’est pas de développer une théorie générale des martingales, mais de mettre en lumière quelques résultats fondamentaux, tels que les théorèmes d’arrêt, les théorèmes de convergence, ainsi que des inégalités maximales ou de concentration, et d’en montrer l’efficacité à travers diverses applications concrètes. On s’appuiera notamment sur des exemples issus de problèmes d’arrêt optimal, de processus de branchement, de permutations et de graphes aléatoires. Afin de privilégier la compréhension des mécanismes probabilistes à l’œuvre, le cadre sera essentiellement celui des probabilités discrètes, ne nécessitant pas le recours aux outils de la théorie de la mesure.
Plan
- Introduction (historique, propriétés de l'espérance conditionelle discrète, modes de convergence de variables aléatoires)
- I. Martingales et premières propriétés
- 1) Définitions
- 2) Opérations sur les martingales
- II. Temps d'arrêt, théorèmes d'arrêt
- 1) Définitions
- 2) Théorème d'arrêt
- 3) Application : arrêt optimal
- III. Convergence des (sur/sous)martingales
- 1) Converge p.s.
- 2) Convergence dans L^p
- 3) Exemple : processus de branchement
- IV. Inégalités
- 1) Inégalité maximale de Doob
- 2) Inégalités de concentration
- 3) Application : nombre chromatique de graphes aléatoires
Support de cours
Références
Elements historiques
- L. Mazliak, G. Shafer (Eds.), The splendors and miseries of martingales: their history from the casino to mathematics Springer Nature (2022), version en ligne.
Théorie des martingales :
- J.-F. Le Gall, Intégration et probabilités, chapitre 12, polycopié en ligne.
- J.-Y. Ouvrard, Probabilités. Tome II. Cassini, 2000.
- D. Williams Probability with martingales. Cambridge university press, 1991.
Applications :
- N. Alon, J. H. Spencer, The probabilistic method. John Wiley & Sons, 2016.
- A. Ben-Hamou, Inégalités de concentration, polycopié en ligne.
- R. Motwani, P. Raghavan, Randomized Algorithms. Cambridge University Press, 1995.
