\documentclass[11pt,francais]{article}
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%%%%%%%%%%% FONTE %%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[fulloldstyle]{kpfonts} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIORITURES %%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[object=vectorian]{pgfornament}
\usetikzlibrary{shapes.geometric,calc}
\usepackage{psvectorian,auto-pst-pdf}
\usepackage{tikz}
 \renewcommand*{\psvectorianDefaultColor}{NavyBlue}%
\tikzset{pgfornamentstyle/.style={draw=NavyBlue, fill = blue}}

%%%%%%%% ENVIRONNEMENT EXERCICES %%%%%%%%%%

\makeatletter
\newcounter{exo}[subsection]
\newenvironment{exo}[1][]
  {\edef\@exer{#1}%
   \ifx\@exer\empty{}\else{\setcounter{exo}{#1}\addtocounter{exo}{-1}}\fi%
   \refstepcounter{exo}%
   \noindent { \textcolor{NavyBlue}{\fontfamily{pzc}\selectfont \large {\LARGE\textsc{E}}xercice \theexo.}}%
   \hspace{0.5em}}
  {\medskip}

\newcounter{sol}[subsection]
\newenvironment{sol}[1][]
  {\edef\@exer{#1}%
   \ifx\@exer\empty{}\else{\setcounter{sol}{#1}\addtocounter{sol}{-1}}\fi%
   \refstepcounter{sol}%
   \noindent {\it \underline{Solution de l'exercice \thesol}%
   \hspace{0.5em}}}
  {\medskip}
\makeatother




%%%%% COMMANDES MAISON %%%%

\newcommand{\ligne}{\begin{center}\vrule depth 0pt height 0.4pt
width 5cm\end{center}}
\newcommand{\etoile}{\begin{center}$\ast\ast\ast$\end{center}}
\def \cor {\noi{ \textcolor{red}{{\bf Corrigé :}}}}
\def \fin {\hfill$\square$}%\newtheorem{exo}{Exercice}

\def\ind{{\mathbbm{1}}_}
\def\al{\alpha}
\def\a{{\mathcal A}}
\def\vep{\varepsilon}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
\renewcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\L}{\mathbb{L}}
\def\ov{\overline}
\def\sg{\sigma}
\def\dl{\delta}

\def\f{{\mathcal F}}
\def\sg{\sigma}
\def\noi{\noindent}
\def\b{{\mathcal B}}
\def\dl{\delta}
\def\vph{\varphi}
\def\lm{\lambda}
\def\build#1_#2^#3{\mathrel{
\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
\def\cc{{\mathcal C}}
\def\p{{\mathcal P}}
\def\x{{\mathcal X}}
\def\z{{\mathcal Z}}
\def\y{{\mathcal Y}}
\def\la{\longrightarrow}
\def\s{{\mathcal S}}
\newcommand\Es[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]}
\renewcommand\Pr[1]{\mathbb{P}\left[#1\right]}

\def\be{\begin{equation}}
\def\ee{\end{equation}}
\def\ba{\begin{eqnarray*}}
\def\ea{\end{eqnarray*}}
\def\ov{\overline}
\def\wh{\widehat}
\def\wt{\widetilde}
\def\cg{\Big[}
\def\cd{\Big]}
\def\pg{\Big(}
\def\pd{\Big)}
\def\la{\longrightarrow}
\def\lmt{\longmapsto}
\def\da{\downarrow}
\def\ua{\uparrow}


%%%% PAS D'INDENT %%%%
\setlength{\parindent}{0pt}



%%%% Début du document %%%%

\begin{document}

\vspace {-3cm}


\fontfamily{pzc} \selectfont

\begin{tikzpicture}[every node/.style={inner sep=0pt}]   
\node[text width= \linewidth-2cm](Text){%
~ 
\bigskip\\
{\LARGE Intégration et probabilités}  \hfill {\large  ENS Paris, 2012-2013} \\
~ \bigskip \\
 \centerline{\LARGE \normalfont TD 12 -- Convergence de variables aléatoires }
} ;
\node[shift={(-1cm,0.2cm)},anchor=north west](CNW)  at (Text.north west)
                 {\pgfornament[width=1cm]{61}};
\node[shift={(1cm,0.2cm)},anchor=north east](CNE)   at (Text.north east)
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=v]{61}}; 
\node[shift={(-1cm,-0.5cm)},anchor=south west](CSW) at (Text.south west)
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=h]{61}}; 
\node[shift={(1cm,-0.5cm)},anchor=south east](CSE)  at (Text.south east)   
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=c]{61}}; 
   \node[shift={(0cm,0cm)}](CS) at (Text.south)   
                 {\pgfornament[width=4.5cm,ydelta=+3cm]{75}};  
\pgfornamenthline{CNW}{CNE}{north}{89}
\pgfornamentvline{CNW}{CSW}{west}{87}
\pgfornamentvline{CNE}{CSE}{east}{87} 
\end{tikzpicture}
\fontfamily{ptm} \selectfont
\let\thefootnote\relax\footnotetext{Pour des questions, demande de précisions ou explications, { \large n'hésitez pas} à m'envoyer un mail à igor.kortchemski@ens.fr , ou bien à venir me voir au bureau V4.}

\normalfont

\begin{center}
{ \fontfamily{ptm} \selectfont
 \Large \bfseries 0 -- Petites questions } \\
\rput(0pt,-0pt){\psvectorian[scale=0.3]{85}}%
\end{center}

Vrai ou faux?
\begin{enumerate} 
\item Soient $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables al\'eatoires r\'eelles et $X$ une variable al\'eatoire r\'eelle d\'efinies sur $(\Omega,\a,\P)$. On suppose que $X_n\to X$ en loi. Montrer que $f(X_n)\to f(X)$ en loi pour toute fonction continue $f:\R\to\R$.
\item Soit $(\mu_n)_{n \geq 0}$ une suite de mesures de probabilité et $\mu$ une mesure positive. Alors il y a convergence étroite des $\mu_n$ vers $\mu$ si et seulement si, pour toute fonction $f$ continue à support compact, on a la convergence
$$ \int f d\mu_n \longrightarrow \int f d \mu.$$
\item Si la suite de variables aléatoires $(X_n)_{n \geq 0}$ converge en loi vers $X$, alors $\mathbb{E}[X_n] \longrightarrow \mathbb{E}[X].$
\end{enumerate}


 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}

Quels sont les liens entre ces différentes convergences: en loi, presque sûre, en probabilité, $ \L^1$, $ \L^p$ pour $p>1$?

 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.45]{48}\psvectorian[scale=0.45]{47}}
\end{center}

\begin{center}
{ \fontfamily{ptm} \selectfont
 \Large \bfseries 1 -- Convergences en loi} \\
\rput(0pt,-0pt){\psvectorian[scale=0.3]{85}}%
\end{center}

\begin{exo}(\textbf{Lemme de Slutsky}) Soient $(X_n)_{n\geq1}$, $(Y_n)_{n\geq1}$ deux suites de variables al\'eatoires r\'eelles, et $X,Y$ deux variables al\'eatoires r\'eelles d\'efinies sur $(\Omega,\a,\P)$, telles que $X_n\to X$ en loi et $Y_n\to Y$ en loi.
\begin{enumerate}
\item On suppose que les variables $X_n$ et $Y_n$ sont ind\'ependantes pour tout $n\geq1$ et que les variables $X$ et $Y$ sont ind\'ependantes. Montrer que $(X_n,Y_n)\to(X,Y)$ en loi.
\item Est-il toujours vrai que $(X_n,Y_n)\to(X,Y)$ en loi~? 
\item \textbf{Lemme de Slutsky} On suppose que $Y$ est constante p.s. Montrer que $(X_n,Y_n)\to(X,Y)$ en loi.
\end{enumerate}
\end{exo}


 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}

\begin{exo} Soit $(X_n,n\geq 1)$ une suite de variables al\'eatoires r\'eelles d\'efinies sur $(\Omega,\a,\P)$ ind\'ependantes et de m\^eme loi $\mu$. On pose $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $\mu$ est la loi uniforme sur $[0,1]$. Montrer que la suite $(n(1-M_n))_{n\geq1}$ converge en loi quand $n\to\infty$ et expliciter la loi limite.
\item On suppose que $\mu$ est la loi de Cauchy standard c'est-\`a-dire que $\mu(dx)=(\pi(1+x^2))^{-1}dx$. Montrer que la suite $(nM_n^{-1})_{n\geq1}$ converge en loi et expliciter la loi limite. 
\noi{\sf Rappel~:} $\arctan(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}+o(\frac{1}{x})$ quand $x\to+\infty$.
\end{enumerate}
\end{exo}




 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.45]{48}\psvectorian[scale=0.45]{47}}
\end{center}

\begin{center}
{ \fontfamily{ptm} \selectfont
 \Large \bfseries 2 -- Convergences en probabilité} \\
\rput(0pt,-0pt){\psvectorian[scale=0.3]{85}}%
\end{center}


\begin{exo}(\textbf{Probl\`eme du collectionneur}) Soit $(X_k,k\geq 1)$ une suite de variables al\'eatoires ind\'ependantes uniform\'ement distribu\'ees sur $\{1,2,\ldots,n\}$. Soit 
$$T_n=\inf\{m\geq1:\{X_1,\ldots, X_m\}=\{1,2,\ldots,n\}\}$$
le premier temps o\`u toutes les valeurs ont \'et\'e observ\'ees.
\begin{enumerate}
\item Soit $\tau_k^n=\inf\{m\geq1:|\{X_1,\ldots,X_m\}|=k\}$. Montrer que les variables $(\tau_k^n-\tau_{k-1}^n)_{2\leq k\leq n}$ sont ind\'ependantes, et d\'eterminer leurs lois respectives. 
\item En d\'eduire que $T_n/(n\log n)\to1$ en probabilit\'e. 
\end{enumerate}
\end{exo}


 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
 \item Montrer qu’une suite de variables aléatoires réelles $X_{n}$ converge en probabilité vers une variable
aléatoire $X$ si et seulement si de toute sous-suite de cette suite on peut extraire une sous-sous-suite qui converge ps vers $X$.
 \item Montrer que si une suite de variables aléatoires réelles $X_{n}$ converge en probabilité vers une variable
aléatoire $X$ et si $f: \R \rightarrow 	\R$ est continue, alors $f(X_{n})$ converge en probabilité vers $f(X)$.
  \end{enumerate}
\end{exo}


 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}


\begin{exo} \ \\
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables al\'eatoires r\'eelles et $X$ une v.a.~r\'eelles d\'efinies sur  $(\Omega, \a, \P)$. On suppose que $X_n \to X$ en probabilit\'e sous $\P$. Montrer que si $\Q$ est une mesure de probabilit\'e sur $(\Omega,\a)$ absolument continue par rapport \`a $\P$, alors $X_n\to X$ en probabilit\'e sous $\Q$.
\end{exo}




 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.45]{48}\psvectorian[scale=0.45]{47}}
\end{center}



\begin{center}
{ \fontfamily{ptm} \selectfont
 \Large \bfseries 3 -- Convergences $  \L^p$ } \\
\rput(0pt,-0pt){\psvectorian[scale=0.3]{85}}%
\end{center}


\begin{exo}(\textbf{Uniforme int\'egrabilit\'e})\ \\
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables al\'eatoires r\'eelles sur $(\Omega, \a, \mathbb{P})$. On dit que la suite $(X_n)$ est uniform\'ement int\'egrable (ou equiint\'egraable ou u.i.) si 
\[ \lim_{M \to \infty} \sup_{n\geq1} \E[|X_n| \ind{\{|X_n| > M\} }] = 0.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $(X_n)_{n\geq1}$ est domin\'ee par une v.a.~$Y$ int\'egrable, alors $(X_n)_{n\geq1}$ est u.i.
\item Montrer que si $(X_n)_{n\geq1}$ est u.i. alors
\[ \sup_{n\geq 1} \E[|X_n|] < \infty, \]
mais que la r\'eciproque est fausse.
\item On suppose que $(X_n)_{n\geq1}$ est u.i. Montrer que 
\[ \forall \vep > 0,\ \exists \delta >0,\ \forall A \in \a,\ \P(A) < \delta \Rightarrow \sup_{n\geq1}\E[|X_n|\ind{A}]< \vep. \]
Montrer que la r\'eciproque est vraie \`a condition de supposer $\sup \E[|X_n|] < \infty$.
\item Soit $p>1$, montrer que si $(X_n)_{n\geq1}$ est born\'ee dans $\L^p$ ($ie$ $\sup \E[|X_n|^p]< \infty$), alors $(X_n)_{n\geq1}$ est u.i.
\item On suppose que $X_n \to X$ p.s.
\begin{enumerate} 
 \item On suppose que $X_n \to X$ dans $\L^1$, montrer que $(X_n)_{n\geq1}$ est u.i.
 \item R\'eciproquement, on suppose que $(X_n)_{n\geq1}$ est u.i.
 \begin{enumerate} \item Montrer que $X$ est int\'egrable. \item Montrer que la suite $(X_n-X)_{n\geq1}$ est u.i. \item En d\'eduire que $X_n \to X$ dans $\L^1$.\end{enumerate}
\end{enumerate}\end{enumerate}\end{exo}




\vspace{-5mm}

 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.45]{48}\psvectorian[scale=0.45]{47}}
\end{center}


\begin{center}
{ \fontfamily{ptm} \selectfont
 \Large \bfseries 3 -- À faire pendant les vacances } \\
\rput(0pt,-0pt){\psvectorian[scale=0.3]{85}}%
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Manger beaucoup de magret de canard.
 \item Pour préparer l'examen, réviser le cours et ce qui a été fait en TD. Chercher des exercices examens des années précédents (les énoncés sont disponibles sur le site d'enseignement du DMA  -- \texttt{http://www.math.ens.fr/enseignement} -- partie \textbf{Archives pédagogiques}, puis \textbf{Annales d'examens}).
  \end{enumerate}


 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.45]{48}\psvectorian[scale=0.45]{47}}
\end{center}
\bigskip

\begin{center}
{ \Large \bfseries 4 --  Compléments (hors TD)} \\
\rput(0pt,-0pt){\psvectorian[scale=0.3]{85}}%
\end{center}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soit $m$ une mesure de probabilit\'e sur $(\R,\b(\R))$. Pour tout $n\geq 1$, on d\'efinit une mesure de probabilit\'e $m_n$ sur $(\R,\b(\R))$ par~:
$$m_n=\sum_{k\in \Z}m([k/n,(k+1)/n[)\dl_{k/n}.$$
Montrer que $(m_n,n\geq 1)$ converge \'etroitement vers $m$. 
\item En d\'eduire que si $(X_n)_{n\geq1}$ est une suite de variables al\'eatoires, chaque $X_n$ \'etant de loi g\'eom\'etrique de param\`etre $e^{-1/n}$, alors la suite $(X_n/n)_{n\geq1}$ converge en loi vers une variable al\'eatoire exponentielle de param\`etre $1$.
\end{enumerate}
\end{exo}


 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}

\begin{exo} Soient $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables al\'eatoires constantes, respectivement \'egales p.s.~\`a $x_n\in\R$, et $X$ une variable al\'eatoire r\'eelle. Montrer que $X_n\to X$ en loi si et seulement si il existe $x\in\R$ tel que $X$ est de loi $\dl_x$ et $x_n\to x$ quand $n\to\infty$.
\end{exo}


\begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}

\begin{exo} Soit $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé.~On suppose que $\Omega$ est dénombrable et que la tribu $\mathcal{F}$ est $\mathcal{P}(\Omega)$. Montrer que les convergences "presque-sûr" et "en probabilité" sont équivalentes sur cet espace (pour des variables aléatoires à valeur dans un espace métrique $(E,d))$.
\end{exo}



\begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}


\begin{exo}( \rput(4pt,4pt){\includegraphics[scale=0.3]{star.pdf}} \quad)
Soit $(Y_{n})_{n \geq 0}$ une suite de variables aléatoires réelles suivant respectivement
une loi gaussienne $N(m_{n}, \sigma_{n}^2)$ avec $m_{n} \in \R$ et $ \sigma_{n}>0$. Montrer que cette suite converge en
loi vers une variable réelle $Y$ si et seulement si les deux suites $(m_{n})_{n \geq 0}$ et $ ( \sigma_{n})_{n \geq 0}$ convergent vers respectivement $m$ et $ \sigma$, et identifier la loi limite.
\end{exo}


\begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.25]{70}}
\end{center}


\begin{exo}( \rput(4pt,4pt){\includegraphics[scale=0.3]{star.pdf}} \hspace {4mm} \rput(4pt,4pt){\includegraphics[scale=0.3]{star.pdf}} \quad)
D'o\`u vient le nom ``Théorème de portmanteau'' ?\end{exo}


~\bigskip
~\medskip
 ~\begin{center}
 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=1.5]{190}}
\end{center}\fontfamily{pzc} \selectfont
\rput(42pt,42pt){\large \emph{Fin}}
\fontfamily{ptm} \selectfont
\end{center}
\end{document}
